250年後の実装：計算機を支える連分数【ランベルトの連分数展開 #4】

パデ近似 \([M/N]\) とは、ある関数 \(f(x)\) を \(M\) 次多項式
\(P(x)\) と \(N\) 次多項式 \(Q(x)\) の比（有理関数）で近似する手法です。

\(f(x) \approx [M/N] = \frac{P_M(x)}{Q_N(x)} \)

ランベルトの連分数展開を途中の第 \(k\) 項で打ち切ったもの
（これを近似分数または遠近数：Convergentと呼びます）は、
実はパデ近似の対角線成分（またはその近傍）と完全に一致します。

\(\tan x\) における具体例
\(\tan x\) のパデ近似 \([3/2]\) を計算する
\(\tan x\) のテイラー展開（マクローリン展開）は以下の通りです。

\(\tan x = x + \frac{1}{3}x^3 + \frac{2}{15}x^5 + O(x^7)\)

ここで、\([3/2]\) 次のパデ近似（分子3次、分母2次）を求めてみます。\(\tan x\) は奇関数なので、分母には偶数次、分子には奇数次のみが現れます。
\(R_{3/2}(x) = \frac{a_1 x + a_3 x^3}{1 + b_2 x^2}\)
これがテイラー展開と \(x^5\) の項まで一致するように解くと、以下の式が得られます（係数比較法による）。
\(R_{3/2}(x) = \frac{x – \frac{1}{15}x^3}{1 – \frac{2}{5}x^2} = \frac{x(15 – x^2)}{15 – 6x^2} = \frac{15x – x^3}{15 – 6x^2}\)

ランベルトの連分数展開で求めた場合
ランベルトの公式を\(n=3\) までで打ち切ってみます。

\( C_3 = \cfrac{x}{1 – \cfrac{x^2}{3 – \cfrac{x^2}{5}}} \)

これを整理すると、
下部の分母を払う： \(3 – \frac{x^2}{5} = \frac{15 – x^2}{5} \)

さらに上の階層へ： \(1 – \frac{5x^2}{15 – x^2} = \frac{15 – x^2 – 5x^2}{15 – x^2} = \frac{15 – 6x^2}{15 – x^2} \)

全体： \(C_3 = \frac{x(15 – x^2)}{15 – 6x^2} = \frac{15x – x^3}{15 – 6x^2} \)

このように\(n=3\)で打ち切ったランベルトの連分数展開は、パデ近似の\([3/2]\)と一致することが確認できます。

本来のtanとの比較

計算が大変なので、n=2までで打ち切ったランベルトの連分数展開を考えます。

\( C_2 = \cfrac{x}{1 – \cfrac{x^2}{3}} = \frac{3x}{3 – x^2} \)

この有理関数をマクローリン展開（テイラー展開）してみると、以下のようになります。

\( \frac{3x}{3 – x^2} = x + \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{9}x^5 + \dots \)

本物の \(\tan x\) の展開式と比較してみましょう。

• 本物の \(\tan x = x + \frac{1}{3}x^3 + \frac{2}{15}x^5 + \dots\)
• パデ近似 \([3/2] = x + \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{9}x^5 + \dots\) （※係数 \(2/15 \approx 0.133\) に対し \(1/9 \approx 0.111\)）

このように、\(x^3\) の項までの係数が完全に一致しています。連分数をより深く打ち切るほど、一致する次数が \(x^5, x^7 \dots\) と増えていき、パデ近似としての精度が向上します。つまり、「連分数を計算すること」と「最適な有理関数（パデ近似）を評価すること」は、実質的に同じ作業をしているといえます。