【補足】なぜチェン探索では「逆元（マイナス乗）」を代入するのか？（エラー位置多項式の正体）

本編 : QRコードのデコード 誤り位置を特定するチェン探索（Chien Search）【QRコードを解読する 第10回】
QRコードのデコード 誤り位置を特定するチェン探索（Chien Search）【QRコードを解読する 第10回】

0. はじめに

本記事は、「QRコードのデコード 誤り位置を特定するチェン探索（Chien Search）【QRコードを解読する 第10回】」の補足記事です。

第10回の記事内で、BM法が作ったエラー位置多項式 \(\sigma(x)\) を解く際、「\(x\) に \(\alpha^i\) をそのまま代入するのではなく、逆元（マイナス乗である \(\alpha^{-i}\)）を代入して \(0\) になるかを確認する」という解説をしました。

「なんでそのまま代入しちゃダメなの？」「どうしてマイナス乗を入れると解けるの？」と疑問に思った方へ向けて、BM法が作ってくれた多項式に隠された「ある数式のカラクリ」をわかりやすく解説します。

1. エラー位置多項式の「本当の姿」

私たちがBM法で苦労して導き出したエラー位置多項式 \(\sigma(x)\) は、例えば \(1 + 40x + 29x^2\) のように、定数項が必ず「\(1\)」からスタートする形をしていました。

実はこれ、エラーが起きた場所（位置）を \(X_1, X_2\) としたとき、裏側では次のような「掛け算の形（因数分解された形）」になるように組み立てられています。

\[\sigma(x) = (1 – X_1 \cdot x)(1 – X_2 \cdot x)\]

（※ガロア体では引き算と足し算は同じなので、\((1 + X_1 x)(1 + X_2 x)\) と考えても全く同じです）

ここが最大のポイントです。方程式は \((x – X_1)\) ではなく、\((1 – X_1 \cdot x)\) という形をしています。(反転多項式（Reciprocal Polynomial）の様態をなしているといえます。)

2. 方程式が「0」になる条件を考えてみる

チェン探索の目的は、この多項式 \(\sigma(x)\) の計算結果が「\(0\)」になるような \(x\) を見つけることでした。 上の式が \(0\) になるためには、かっこの中身のどれかが \(0\) になればOKです。
\[1 – X_1 \cdot x = 0\]

この式を、移項して整理してみましょう。
\[X_1 \cdot x = 1\]

この式を見れば、エラーの場所 \(X_1\) と、代入する値 \(x\) を「掛け算して \(1\) になる関係」……つまり、代入すべき \(x\)は、エラーの場所 \(X_1\)の「逆数（逆元）」でなければなりません。

\[x = X_1^{-1}\]

3. 具体例でスッキリ理解しよう！

仮に、エラーの発生した場所 \(X_1\) が \(\alpha^3\) （インデックス3）だったとしましょう。 多項式のカッコの中身は \((1 – \alpha^3 \cdot x)\) となっています。

ここに、もし \(\alpha^3\) をそのまま代入してしまうとどうなるでしょうか？
\[1 – (\alpha^3 \cdot \alpha^3) = 1 – \alpha^6 \neq 0\]

\(0\) にはなりませんね。これではエラーの場所を見逃してしまいます。

では、逆元である \(\alpha^{-3}\) を代入してみましょう。

\[1 – (\alpha^3 \cdot \alpha^{-3})= 1 – \alpha^0\] \[\phantom{1 – (\alpha^3 \cdot \alpha^{-3})}= 1 – 1\] \[\phantom{1 – (\alpha^3 \cdot \alpha^{-3})}= 0\]

カッコの中身が \(0\) になり、方程式全体も \(0\) になりました！

4. まとめ

BM法が育てたエラー位置多項式は、「エラーの場所の『逆元』を代入したときに計算結果が \(0\) になる」という特別な設計になっていました。

だからこそ、チェン探索で「\(\alpha^i\) の場所でエラーが起きているか？」を総当たりでチェックする時は、\(\alpha^i\) をそのまま入れるのではなく、\(\alpha^{-i}\)を代入して \(0\)になるかを確認していたわけです。

「ただのおまじない」ではなく、すべてが理詰めで組み立てられているリード・ソロモン符号の数学的な美しさが、ここにも隠されていました。スッキリしたところで、ぜひ本編のチェン探索にもどり、0となる値つまりエラー位置を特定できていることを確認してみてください。

関連記事

本編 : チェン探索で総当たり
QRコードのデコード 誤り位置を特定するチェン探索（Chien Search）【QRコードを解読する 第10回】
復元完了編：チェン探索で見つけた位置をもとにフォルニー（Forney）法で復元
関連記事は、2026年6月21日に公開予定 (あと22時間)

はじめから読む。第１回
QRコードを解読する：エラーはどうやって直る？リード・ソロモン符号の基本 【第1回】